Universidad Alfonso Reyes
Alumno: Jonás Esaú Uribe Zúñiga
Matricula: L-10406
Tema: Aplicaciones de las transformadas de
laplace en la ingeniería.
Maestro: Lic. Abel González.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Es la más conocida y utilizada de las transformadas integrales. Se ha mostrado de
una gran utilidad a la hora de resolver multitud e problemas de la ciencia y
tecnología, aplicándose de manera efectiva al estudio de tema fundamentales como
teoria de vibraciones, circuitos electrónicos, búsqueda de soluciones de ecuaciones
en derivadas parciales, estudio de la conductividad del calor, ecuación de onda,
soluciones de problemas de valor de frontera, etc.
Es la más conocida y utilizada de las transformadas integrales. Se ha mostrado de
una gran utilidad a la hora de resolver multitud e problemas de la ciencia y
tecnología, aplicándose de manera efectiva al estudio de tema fundamentales como
teoria de vibraciones, circuitos electrónicos, búsqueda de soluciones de ecuaciones
en derivadas parciales, estudio de la conductividad del calor, ecuación de onda,
soluciones de problemas de valor de frontera, etc.
Introducción:
La idea básica del llamado Cálculo Operativo consiste en establecer una
correspondencia funcional o transformación de modo que si a una función f(x) dada
le corresponde un conjunto L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuaciones
L[f(x)]=0, a la función transformada correspondiente F(s) le corresponderá el
conjunto de operaciones L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones L[F(s)]=0. La
utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto de
operaciones, L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de más sencilla
resolución que las operaciones correspondientes L[f(x)], o ecuaciones
correspondientes L[f(x)]=0 en la función original f(x).
Pueden ser ideadas, obviamente, múltiples reglas de transformación. En particular
han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define
la función transformada F(s) como una integral de la función original f(x)
multiplicada por alguna función arbitraria de las variables x y s que se denomina en
general Núcleo de la transformación:
En todas las transformadas integrales es el núcleo de la transformación, ) , ( x s K , y,
en algún caso, los límites de integración, a y b, lo que define el tipo de
transformada integral.
La idea básica del llamado Cálculo Operativo consiste en establecer una
correspondencia funcional o transformación de modo que si a una función f(x) dada
le corresponde un conjunto L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuaciones
L[f(x)]=0, a la función transformada correspondiente F(s) le corresponderá el
conjunto de operaciones L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones L[F(s)]=0. La
utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto de
operaciones, L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de más sencilla
resolución que las operaciones correspondientes L[f(x)], o ecuaciones
correspondientes L[f(x)]=0 en la función original f(x).
Pueden ser ideadas, obviamente, múltiples reglas de transformación. En particular
han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define
la función transformada F(s) como una integral de la función original f(x)
multiplicada por alguna función arbitraria de las variables x y s que se denomina en
general Núcleo de la transformación:
En todas las transformadas integrales es el núcleo de la transformación, ) , ( x s K , y,
en algún caso, los límites de integración, a y b, lo que define el tipo de
transformada integral.
Aplicación de la
Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales
Una transformada de Laplace se desprende de una función dependiente de t F {t} donde t>0 y funciona por medio de una integral evaluada de 0 a por medio de un operador llamado L operador de la transformada de Laplace y se define como:
[pic]
Partiendo de esto la solución de una ecuación diferencial puede ser hallada por medio de la trasformada de Laplace como a continuación se mostrara;
La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden:
[pic] O sea
[pic] ……………… (1)
Donde [pic] y [pic] son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera
[pic] [pic] …………………… (2).
Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para determinar L {y (t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).
← Ejercicio resuelto: Resolver y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2.
Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
L {y’’} + L {y} = L {t}
s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2
s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2
Entices: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)
Desperado Y(s):
Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]
Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1
Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1
Aplicando Antitransformada a cada término:
L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}
Se obtiene de los resultados que mostré en la siguiente tabla:
y(t) = t + cos t - 3 sen t
Una transformada de Laplace se desprende de una función dependiente de t F {t} donde t>0 y funciona por medio de una integral evaluada de 0 a por medio de un operador llamado L operador de la transformada de Laplace y se define como:
[pic]
Partiendo de esto la solución de una ecuación diferencial puede ser hallada por medio de la trasformada de Laplace como a continuación se mostrara;
La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden:
[pic] O sea
[pic] ……………… (1)
Donde [pic] y [pic] son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera
[pic] [pic] …………………… (2).
Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para determinar L {y (t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).
← Ejercicio resuelto: Resolver y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2.
Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
L {y’’} + L {y} = L {t}
s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2
s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2
Entices: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)
Desperado Y(s):
Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]
Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1
Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1
Aplicando Antitransformada a cada término:
L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}
Se obtiene de los resultados que mostré en la siguiente tabla:
y(t) = t + cos t - 3 sen t
Aplicaciones de la
Transformada de Laplace
Solución de ecuaciones lineales
Resortes acoplados Dos masas, m1 y m2, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son k1 y k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.55. Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 – x1. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas –k1x1 y k2(x2 – x1), respectivamente, sobre m1. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre m1 es –k1x1 + k2(x2 – x1). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir
De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, k2(x2 – x1). En consecuencia,
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden
En el próximo ejemplo resolveremos ese sistema suponiendo que k1 = 6, k2 = 4, m1 = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.
EJEMPLO 1 Resortes acoplados
Resuelva (6)
Sujetas a x1(0) = 0, x1'(0) = 1, x2(0) = 0, x2'(0) = 1.
SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es
Despejamos X1 de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado en fracciones parciales:
Por lo tanto
Sustituimos la expresión de X1(s) en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos
Y
Por último, la solución del sistema dado (6) es
(8)
Redes eléctricas. Las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor) están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución de ecuaciones lineales
Resortes acoplados Dos masas, m1 y m2, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son k1 y k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.55. Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 – x1. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas –k1x1 y k2(x2 – x1), respectivamente, sobre m1. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre m1 es –k1x1 + k2(x2 – x1). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir
De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, k2(x2 – x1). En consecuencia,
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden
En el próximo ejemplo resolveremos ese sistema suponiendo que k1 = 6, k2 = 4, m1 = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.
EJEMPLO 1 Resortes acoplados
Resuelva (6)
Sujetas a x1(0) = 0, x1'(0) = 1, x2(0) = 0, x2'(0) = 1.
SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es
Despejamos X1 de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado en fracciones parciales:
Por lo tanto
Sustituimos la expresión de X1(s) en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos
Y
Por último, la solución del sistema dado (6) es
(8)
Redes eléctricas. Las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor) están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Resumen
transformada de
Laplace es aplicable en la resolución de problemas de ingeniería, la cual se
asocia a componentes electricas que contienen parámetros resistivos,
inductivos, capacitivos y fuentes. Dentro de ellos se puede hallar solucion a
problemas que involucren los anteriores parametros y ademas se pueden hallar
soluciones por superposicion. Se aplica a las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (EDO) lineales de orden n, y a los
sistemas lineales de Ecuaciones Diferenciales (ED), particularmente en el caso de coeficientes constantes. Por otro lado, el método es punto de partida para el tratamiento de sistemas dinámicos y teoría de control.
cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s. Dada una función f(t), nula cuando t < 0, su transformada de Laplace se define como:
∞
�� �� : =
0
exp −���� ��(��) ����
(1)
La transformada de Laplace de este modo es, una función en la nueva variable independiente s. El paso de la función f(t) a su transformada de Laplace F(s), se representará en forma operacional mediante la expresión: F(s) = ℒ[��(��)] Esta integral impropia (1), debe ser convergente. Por ello la transformada F(s) existirá siempre que se satisfagan ciertas condiciones suficientes para la convergencia de esta integral. Generalizando se puede decir que la clase de funciones para las cuales existe transformada de Laplace es considerablemente amplia. Ejemplo 1. Sea la función: �� �� = ������ ���� , t ≥ 0 , donde �� ∈ ℝ. Se tiene entonces para s > a:
∞
Palabras Clave: Transformada de Laplace, ingeniería, sistemas dinámicos, teoría de control. 1. Introducción En el presente artículo se presentan las definiciones básicas, las propiedades y aplicaciones de la Transformada de Laplace.
sistemas lineales de Ecuaciones Diferenciales (ED), particularmente en el caso de coeficientes constantes. Por otro lado, el método es punto de partida para el tratamiento de sistemas dinámicos y teoría de control.
cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s. Dada una función f(t), nula cuando t < 0, su transformada de Laplace se define como:
∞
�� �� : =
0
exp −���� ��(��) ����
(1)
La transformada de Laplace de este modo es, una función en la nueva variable independiente s. El paso de la función f(t) a su transformada de Laplace F(s), se representará en forma operacional mediante la expresión: F(s) = ℒ[��(��)] Esta integral impropia (1), debe ser convergente. Por ello la transformada F(s) existirá siempre que se satisfagan ciertas condiciones suficientes para la convergencia de esta integral. Generalizando se puede decir que la clase de funciones para las cuales existe transformada de Laplace es considerablemente amplia. Ejemplo 1. Sea la función: �� �� = ������ ���� , t ≥ 0 , donde �� ∈ ℝ. Se tiene entonces para s > a:
∞
Palabras Clave: Transformada de Laplace, ingeniería, sistemas dinámicos, teoría de control. 1. Introducción En el presente artículo se presentan las definiciones básicas, las propiedades y aplicaciones de la Transformada de Laplace.
